МК Другая математика с Desmos
Рисуем домик в Desmos... Урок 1
О некоторых возможностях математического сервиса я написала в посте Полезный Desmos. Поскольку в библиотеке приложений к сервису нашла много картинок, созданных при помощи графиков функций, захотелось научиться делать это самой! Заодно решила посмотреть, какие возможности могут стоять за несложным, на первый взгляд, упражнением. Начала с самого простого - рисования домика. Рассмотрим процедуру по шагам...Шаг 0. Открываем и называем именем новый файл в сервисе Desmos. Если в нужном квадратике поставить галочку, то файл сохранится еще и на вашем диске Google/
Шаг 1. Вставка картинки
Находим подходящую картинку с изображением домика в интернете и обрабатываем ее, удаляя все лишнее, т.к. картинка для первого урока не должна содержать много линий (например, у данной картинки мне пришлось удалить трубу домика).
Разложим объект "домик" на элементы. Он состоит из прямых линий, значит, рисовать домик будем с помощью линейных функций.
Шаг 2. Обводка домика с помощью прямых
В поля для ввода функций вводим уравнения прямых Y=k, X=b. С помощью слайдера-ползунка подбираем нужные коэффициенты k и b так, чтобы прямые совпали со стенами, окнами и дверью дома.
Для обводки крыши мы используем линейное уравнения в общем виде Y=cX+d Cоответсвенно, используем два слайдера для "подгонки" уравнения.
После того, как все элементы "обведены", получим "домик", весь в стропилах.
Шаг 3. Определение точек пересечения графиков
Для того, чтобы прямые-"стропила" обрезать, нам нужно знать, в каком месте резать. Для этого найдем координаты точек пересечения графиков. Просто кликаем мышкой на нужную точку графика.
Шаг 4. Задание интервалов для переменых X и Y
Теперь границы интервалов нам известны.
Рядом с формулой прямой, указываем нужные интервалы для X и Y, соблюдая синтаксис - правила указания интервала, иначе сервис вас не поймет!
Обратите внимание на следующее: сколько элементов у вашего домика, столько кусочно-заданных функций должно быть в поле для функций.
Шаг 5. Цвет графика
Цвет линии можно поменять, для этого нажмите на иконку рядом с функцией
Шаг 6. Удаление картинки
Теперь можно удалить картинку-"подложку", она нам больше не понадобится!
Шаг 7. Упорядочивание функций по папкам
Стало видно, что разные уравнения прямых "накиданы" в беспорядке, но их можно упорядочить, разложив по папкам. Предварительно создаем 4 папки: "Стены", "Дверь", "Окна", "Крыша".
Формирование папки можно совершить простым перетаскиванием за иконку нужных функций в нужные папки.
Шаг 8. Публикация
Публикуем апплет встроенным кодом на странице cайта или посылаем на адрес электронной почты/
Такой вот домик у нас получился! Можно кликать по картинке!
Упражнение может быть хорошей практической работой после изучения темы "Линейная функция".
Рисуем смайлик в Desmos... Урок 2.
Начало в посте Полезный Desmos и Рисуем домик в Desmos... Урок 1Сегодня повторим тему "Уравнение окружности".
Рисуем смайл по картинке
Шаг 1. Анализ формы
Находим подходящую картинку с изображением смайла в интернете. Разложим этот смайл на элементы. Он состоит из трех типов геометрических фигур: окружностей разного радиуса, эллипсов и дуги-улыбки.
Шаг 2. Вставка картинки
Открываем и называем именем Smile новый файл в сервисе Desmos.
Картинку, найденную в интернете, сначала скачиваем себе на компьютер, чтобы потом загрузить в наш новый файл Desmos. Картинка встает очень удачно, так, что ее линия симметрии совпадает с осью OY системы координат.
Шаг 3. Обводим объект линией
Так как внешний контур смайла - окружность, в левой рабочей части экрана задаем формулой уравнение окружности с центром в начале координат. Радиус окружности подбираем экспериментальным путем, задавая разные значения и пробуя совместить окружность и внешний контур смайла.
Шаг 4. "Заливка цветом"
И теперь нужно "закрасить" внутреннюю область внутри круга, ее мы задаем соответствующим неравенством, поскольку никакой, привычной нам по другим, графическим редакторам, кнопки "заливка" здесь просто не существует.
Шаг 5. Копирование объекта
Так как у смайла два глаза (с первого взгляда, симметричных), мы должны скопировать функцию, ответственную за рисование правого глаза и просто поменять в ней коэффициенты для левого. Делать это можно, перейдя в режим редактирования:
После завершения копирования не забудем нажать кнопку DONE.
Кстати, в этом случае сохраняется и цвет линии первоначально объекта (того, с которого вы делаете копию), что очень важно для симметричного рисунка. Как показывает результат, картинка оказалась не совсем симметричной, по крайней мере, глаза смайлика не являются симметричными относительно друг друга.
Шаг 6. Подбор нужного цвета
Дело в том, что изначально Desmos не задумывался как графический редактор, и возможности произвольного выбора цвета линий здесь небольшие. По мере добавления новых объектов, сервис сам "назначает" цвет каждому новому объекту. Его можно поменять в любой момент. Цвета линий есть такие:
И вновь задаем неравенством область "вокруг глаз" нашего смайлика, а нужные параметры для неравенства подбираем с помощью слайдера.
Шаг 7. Рисование дуги с помощью кусочно-заданной функции
Переходим к финальному этапу - рисованию "улыбки". Она задана элементом "дуга". Поскольку мы в Desmos "рисуем" функциями, то здесь нам нужно "ограничить" наш график - линию окружности, задав интервал, на котором мы хотим видеть улыбку-дугу. Если этого не сделать, у смайла будет "рот до ушей"!
Причем, условий придется добавлять два: для X и для Y.
Шаг 8. Утолщение линий, путем параллельного наложения функций
Этот шаг я назвала "тонкой доводкой". Так как в Desmos нельзя произвольно задать толщину линии, можно просто "утолщить" ее, построив рядом исходную функцию несколько раз (на данном рисунке - три раза).
Шаг 9. Динамическая улыбка через уравнение с параметром
Как заставить смайл улыбаться "динамически", так, чтобы он расплывался в улыбке? Сделать это можно с помощью того же слайдера, задав новый параметр, в данном случае - T. Причем, можно задать "шаг" для слайдера. При копировании функций, содержащих параметры, "слайдер" сам предлагает задать интервалы и шаг для изменения переменной. Конечно, динамическая улыбка - штука тонкая, поэтому можно добавлять параметры и слайдеры в разные части уравнения и экспериментировать с "улыбкой", добиваясь нужного вам результата.
Шаг 10. Удаление картинки-подложки
Теперь картинку-подложку можно удалить. Для этого достаточно нажать на крестик рядом с именем встроенного графического файла.
Наш смайлик готов! Эдакий инопланетный смайл получился! Но какой есть, прошу учесть, что это мой первый опыт рисования с помощью графиков!
А если серьезно, то работа с Desmos - отличная возможность изучать поведение функций, функции с параметрами, функции с модулями и другие важные темы математики!
Рисуем в Desmos девочку и мальчика. Урок 3
Есть проблема, связанная с тем, что каждый день появляются все больше новых сервисов, которые позволяют ученикам легко создавать "шедевры", не затрачивая никаких усилий, в том числе, интеллектуальных. Возможно, это само по себе и неплохо. Но каждый раз возникает вопрос: а что делает сам ученик? Чему он учится, выдавая свой продукт, если сервис все делает "как бы сам"? И задачи решает, и переводит с другого языка, и грамматику в текстах исправляет...Вот и приходится придумывать учителю задания, в которых, во-первых, оставалось место для проблемной ситуации - для собственного усилия ученика, а, во-вторых, чтобы ученик смог увидеть связь между производимым действием и его результатом.
Desmos - сервис, в котором можно поставить интересные учебные задачи такого рода. В нем для получения даже незначительного результата нужно произвести достаточно сложные операции и применить полученные ранее математические знания. Рассмотрю в этом посте несколько примеров.
Нарисуй девочку и мальчика!
После того, как мы начали (1, 2) с учениками "рисовать функциями", они получили свое первое самостоятельное задание на дом. Нужно было нарисовать "девочку" и "мальчика" по трафарету, путем обрисовки. Все работы мы собирали в общую галерею на странице предметного сайта, в которой видны любые совпадения готовых рисунков, все сходства и различия.
Критерии оценивания
- Точность вопроизведения картинки (количество и точность прорисованных элементов).
- Систематизация элементов (функций) по папкам.
- Раскраска линий.
- Выполнение задания в срок.
Дополнительный бонус назначался тем ученикам, кто смог "раскрасить" объект (подобно заливке в графических редакторах). При том, что здесь нет инструмента "заливка" как такового, нужно было догадаться, как это сделать с использованием неравенств!
Уменьшено: 86% от [ 1018 на 242 ] — нажмите для просмотра полного изображенияКто-то из учеников не смог сообразить, что нужно использовать уравнение прямой в общем виде, поэтому появились такие квадратные "мальчики".
Кто-то не разобрался, как задать функцию на отрезке, поэтому у некоторых учеников получались "мальчики", пронзенные насквозь бесконечными прямыми.
При удалении картинки-подложки в таком апплете "мальчик" превращается в набор прямых...Вот примеры наиболее удачных работ (кликабельно):
Уроки в Desmos продолжаются... Повесь ягоду на ветку!
В продолжение темы "рисования функциями" хочу привести еще несколько готовых заданий, разработанных совместно с учителем математики нашей школы Ириной Хайтиной. Все приведенные упражнения были выполнены учениками в качестве самостоятельных домашних заданий или на уроках математики, которые проходили в компьютерном классе.Добавь на ветку ягоды и листья!
В любом графическом редакторе это была бы задачка для первоклассника, но не в Desmos, где под каждый листок и каждую ягодку на рисунке нужно подобрать функцию. Уроки "рисования функциями", хоть и опираются но знание основ математики, в частности темы "Графики функций", но могут рассматриваться как "решение проблем", поскольку решение задачи никогда не единственное, любую задачу можно решить множеством способов. И, что очень важно, способы эти заранее ученикам не известны!
Обычно на таких уроках нет традиционного объяснения материала. Анализ предложенного объекта, его разложение на формы и линии, ученики должны провести самостоятельно, сами же, методом проб и ошибок, ученики начинают поиск решения, выдвигая гипотезы и пробуя осуществить выбранный способ решения задачи.
В данной задаче добавление ягод на ветку сводится к добавлению уравнений (неравенств) окружности. Как правило, ученики начинают поиск решения с копирования уравнения уже "нарисованной" ягоды, и, меняя в нем (уравнении) числовые значения, пытаются "повесить" на ветку новую ягодку. Но встречаются с затруднением, в случае, если решают задачу в частном виде. Нередки вопросы: "Я "передвинул ягоду по оси Х, а как ее передвинуть по оси У?". Интересно, что эти вопросы задают даже те ученики, которые по программе уже прошли тему "Уравнение окружности". Получается, что применить знание в незнакомой ситуации они не могут?
Когда ученики, перебрав частные решения, убеждаются, что быстро решить задачу не удастся, задают вопрос: "А как это можно сделать по-другому?". Еще в контексте решения для нас может оказаться важным вопрос: "А как посадить ягодку точно на ветку?"
Здесь-то мы и напоминаем ученикам об общем виде уравнения окружности, разбираем, где в нем переменные, а где параметры. Очень важно, что когда в поле для ввода функций появляется уравнение/неравенство в общем виде, то автоматически создаются слайдеры (ползунки), которые и позволят поточнее "посадить" ягодку на ветку. При этом вместо букв мы можем ввести конкретные значения параметров.
Очень важно научить ребят сразу сортировать и упаковывать детали рисунка в папки, потому что протоколы получаются очень объемными: отдельно "ягоды", отдельно "листья" в папки с соответствующими именами.
Затем мы переходим к рисованию листка на ветке. Здесь уже объект создается с помощью двух пересекающихся парабол, которые, к тому же, надо задать на конкретном отрезке. Возможно точно определить границы отрезка для X: просто "кликаем" в точку пересечения и видим ее координаты.
Рисование зеленого листика, "заполненного" цветом здесь достигается двойным неравенством. Здесь тоже может наступить "момент открытия" для учителя. Ученики, казалось бы, давно изучили тему "Неравенства", а при решении несложной задачи, не могут применить своих знаний.
Путем рассуждений, подбора функций, неравенств и параметров к ним каждый создает свою гроздь. Задача решена!
Помимо положительных эмоций, ученики испытывают настоящую гордость за свою работу. Они стремятся показать работу другим, сравнить свою "гроздь" с рисунками других учеников, чего никогда не происходило, если бы ученики строили обычные графики тех же самых функций в своих тетрадях. А чего их сравнивать? У всех все одинаково!
Скриншот части ученической коллекции:
Полезный Desmos Одно из главных преимуществ - "облачность" сервиса. Его можно установить как расширение для браузера Chrome (как дополнение для Диска Google).
Авторизация в сервисе с помощью существующего аккаунта позволяет сохранять созданные апплеты и делиться ими в виде ссылки, встроенного кода или картинки.Cоздавать графики легко. Для этого достаточно написать уравнение функции - и в рабочем поле создастся ее график.
График можно строить и табличным способом (по точкам):
Сервис позволяет рекордно быстро создавать иллюстрации в виде графиков функций для текстовых заданий или тестовых форм. Пример такого теста с иллюстрациями: Тест на квадратичную функцию с использованием приложения Desmos Авторы И.Хайтина, Л.Рождественская.
Еще об удобстве работы с сервисом
В библиотеке готовых приложений можно найти немало динамических апплетов для функций разного типа (от линейной до тригонометрической) со встроенными "ползунками". Примеры:
Демонстрационный файл. Построение параболы по точкам
Построение параболы по формуле y = a(x – h)2 + k
Приведу одну иллюстрацию, как можно наблюдать за изменением формы и расположения графиков с помощью "ползунков".
А еще вы можете загрузить в созданный файл изображение. На него будет наложена система координат. Останется "подобрать" уравнение огибающей.
Наконец, готовым файлом с оформленным заданием можно поделиться со своими учениками или коллегами. Так выглядит апплет, встроенный в электронное письмо. Еще готовый файл можно опубликовать на сайте или учебном блоге.
На самом деле, каждый день открываю для себя все новые возможности этого сервиса. В нем есть библиотека готовых апплетов, которые могут стать хорошими образцами, и отталкиваясь от которых, можно создать свои.
Например, Часы (можно демонстрировать при изучении темы "Тригонометрия".)
Или просто рисунки с помощью разных функций, подобные тем, которыми занималась с шестиклассниками моя коллега Людмила Свирина. Их можно создавать после прохождения темы "Кусочно заданная функция". Примеры: Рис 1, Рис 2, Рис 3.
Из настроек важными могут оказаться языковые (можно установить русский интерфейс).
Также в настройках есть возможность убрать "сетку", увеличить/уменьшить ее шаг, заменить систему координат на полярную и т.д.
Что скажете, коллеги? Было бы интересно дать эту тему в качестве исследовательской старшеклассникам из числа интересующихся математикой. Апплеты не так сложны, как кажется на первый взгляд, да и примеров, которым можно следовать, уже создано много.
Инструкция по использованию Desmos
1.Откройте приложение по ссылке https://www.desmos.com/calculator.
2. Авторизуйтесь в приложении, для этого нажмите Sign in в верхнем правом углу страницы:
3. Войдите, используя свой аккаунт почты:
4. Назовите файл:
5. Получите ссылку на свой файл:
https://sites.google.com/site/mkdrugaamatematikasdesmos/
Анимированные объекты в Desmos. Как заставить снежинку мерцать?
В продолжение темы, начатой в предыдущем посте, когда мы учились рисовать функциями снежинку...Воссоздав из "полуфабриката" симметричную снежинку, мы с учениками захотели ее оживить - анимировать хотя бы отдельные элементы. Но в Desmos нет специальных инструментов для этого! "Анимацию" здесь можно сделать, использовав параметры и ползунки.
Поделимся этой технологией...
Как заставить снежинку мерцать?
Для "мерцания" мы использовали изменение радиусов окружностей, которые "венчают" иголочки снежинки. Окружностей таких у нас два вида - побольше и поменьше, поэтому ввели два параметра - радиусы а и b, соответственно. С введением букв появляются и два ползунка, которые можно запустить в автоматическом режиме. В последних настраиваем интервал для изменения параметров и шаг, с которым будет расти и потом убывать каждый из радиусов. Более подробно настройки параметров можно увидеть, кликнув на апплет.
Такой результат у нас получился и мы даже сделали видео, наложив подходящую музыку: Мерцающая снежинка и Моцарт.
В связи с новогодними праздниками появилось несколько идей к следующим урокам:
Раскрась и укрась елочку!
За основу можно взять картинку или нарисовать елочку прямыми или параболами...
Картинок с симметричными елочками в интернете хоть отбавляй!
Выбор картинок можно осуществлять не только с точки зрения их красоты или наличия симметрии, а исходя из задач при изучении конкретной математической темы. Поскольку "закрашивание" объектов происходит с использованием двойных неравенств, то могут пригодиться такие, например, картинки с изображением елочки. Раскрашивание отдельных частей этой елочки может оказаться прекрасным упражнением при изучении темы "Определенный интеграл. Вычисление площадей фигур."
Сделать в Desmos анимацию или раскрасить елочку не так-то просто - нужно разобраться с громоздким уравнениями, сложным неравенствами или с параметрами, тем не менее, ребятам занятия с использованием Desmos явно нравятся. Они стараются каждое задание выполнить нестандартно, так, чтобы свой готовый продукт чем-то отличался от работ других учеников. Например, стараются применить освоенные ими приемы анимации в Desmos.
Как анимировать снеговика?
В работах, ссылки на которые приведу ниже, использован тот же прием, что и в задаче про снежинку - увеличение и уменьшение радиусов окружностей. То есть прием-то один, а вариантов применения может быть много. На каких-то рисунках это "светящиеся" на елочке шары, а на каких-то - "подмигивающие" снеговики. Все эти рисунки были придуманы самими учениками.
Полезные ссылки
Материалы для ознакомления
http://blog.desmos.com/ Математическая задача как вызов. Уроки в Desmos
Больше всего мне не хватает сейчас старшего друга. Учителя. Человека, который объяснил бы мне, что к чему.
Хорошо, если бы он давал мне задание, на мой взгляд бессмысленное, я злился бы и возмущался, но выполнял бы заданный урок. И затем, понемногу, после многих месяцев тяжкого труда, я бы начал понимать, что во всем есть скрытый смысл и наставник действовал по заранее продуманному, точному плану. И мне вдруг открылась бы причинная связь вещей. Эрленд Лу. "Наивно. Супер." Эту задачу в двух частях я нашла на замечательном сайте английского преподавателя http://dailydesmos.com/ (что можно перевести как ежедневный Desmos). По сайту видно, что он влюблен в этот сервис, также как и я. Выглядела задача так: Учитель писал в задании, что он предлагает ученикам принять вызов (Challenge) и создать средствами desmos или какими-то другими средствами вот такие два апплета на тему “Теорема Пифагора”. Обозначим их условно, как статичный и динамический апплеты. Я решила переадресовать этот вызов своим ученикам и посмотреть, что из этого получится. Задание Создать в Desmos два объекта.
Надо сказать, что к этому занятию мы уже раскрасили одеяло в Desmos и рассмотрели пару алгоритмов анимации объектов путем привязки параметров к функции. Какие проблемы у учеников возникали и как они их решали? Проблема 1. Как нарисовать “наклонный” квадрат? Квадраты, стороны которых параллельны координатным осям, ребята нарисовали довольно быстро (поскольку они похожи на квадраты лоскутного одеяла). Первая заминка вышла с большим квадратом - его требовалось “наклонить”. Для этого можно: либо найти уравнения прямых, составляющих его стороны, либо взять уравнение прямой в общем виде с угловым и свободным коэффициентами в качестве параметров и путем движения ползунка просто подобрать нужные коэффициенты. Есть и более простое решение: вычислить координаты вершин большого квадрата. И та, и другая стратегия разрешены. Проблема 2. Как закрасить большой квадрат? Проблема в том, что для этого его нужно правильно разбить на части. Задача, вроде бы, несложная, но не все справляются. Присылали, например, такие решения с незакрашенной полосой: Здесь привожу решение одной из учениц, которая первой поняла, на какие части разбить квадрат и какие три неравенства с линейными функциями здесь приведут к нужному результату. Еще одно решение, квадрат разбит на другие три части, неравенства тоже будут выглядеть по-другому. Но, что очень важно, в протоколе этой работы сохранена и попытка неверного решения, то есть полный ход рассуждения с выдвижением идей и их проверкой. В финальном решении неверный ход “выключен”, но след его остался, его можно увидеть. Такое оформление не было принято, когда мы решали задачи на бумаге (ученики ведь не предъявляют учителю своих черновиков) и, в принципе, невозможно было определить, откуда взялось то или иное готовое “правильное” решение. Вот эта самая “неверная попытка” решить вопрос с закрашиванием квадрата с помощью системы линейных неравенств без уточнения интервалов. Идет перебор вариантов, у учеников есть возможность проверить каждый и отказаться от того, который не приводит к желаемому результату. Ученики рассуждают в описании задачи, а не только записывают решение формулами: сначала я сделал так, смотрю, что не все получилось, потом добавил такие условия…, то и то поменял, получилось так…. Проблема 3. Двигающийся квадрат  Решение этой задачи я решила собрать в виде презентации, поскольку решивших ее самостоятельно было мало, презентация Динамический квадрат в Desmos была послана ученикам к следующему уроку. Задачи-этюды. А заодно было придумано еще несколько похожих задач на закрепление. Привожу апплет с заданием и решением. Задач такого типа можно придумать много, причем, для каждого ученика будет предложен свой вариант (треугольников с разными координатами вершин можно задать бесконечно много). Условие  Решение  Статьи по теме Desmos : Полезный Desmos Рисуем домик в Desmos... Урок 1 Рисуем смайлик в Desmos... Урок 2. Рисуем в Desmos девочку и мальчика. Урок 3 Уроки в Desmos продолжаются... Повесь ягоду на ветку! Cимметрия в Geogebra и Desmos: цветы и снежинки Анимированные объекты в Desmos. Как заставить снежинку мерцать? А синуса график волна за волной... Ты, волна моя, волна! Ты гульлива и вольна... Пушки с пристани палят или создание динамических апплетов в Desmos Горы, облака, чайки... МОДУЛЬ Лоскутное одеяло из неравенств Математическая задача как вызов. Уроки в Desmos Русский авангард и другие художники в Desmos Как привести солнце в движение, или Послесловие к виртуальной выставке МК "Другая математика с Desmos": измени апплет и научись! "Полярные" витражи, или Крути калейдоскоп в Desmos! Об изучении координат в Desmos 1 Об изучении координат в Desmos 2. Рисуем фигуры с помощью подвижных точек Об изучении координат в Desmos 3. Задачи из "Математической шкатулки" Об изучении координат в Desmos 4. Математика и информатика — два в одном Можно ли оживить задачи из бумажного учебника математики? Дьявол в деталях, или Опять об анимации в Desmos Кошки-мышки и другие "мультики" в Desmos Паркеты и площади в Desmos Измеряем недосягаемое, или История повторного использования учебного объекта Задачи-вызовы в Desmos Desmos как социальное хранилище учебных объектов Великолепный Desmos: обучение математике методом решения проблем. Карнавал функций, DesMan и обучение на полиграфе Геймификация в Desmos Статьи на темы математики в школе: Математические ресурсы в помощь учителю. Генераторы рабочих листов. Учебные видео по математике или "дети учат детей". Математические ресурсы для младших школьников Создай рабочий лист сам! Об идее коллекций учебных материалов... Рабочий лист и Библиотека Конгресса Помощница GeoGebra или учителя учат учителей... Динамические апплеты в Geogebra как тема учебных проектов шестиклассников О составлении заданий на естественно-научную и математическую грамотность Папа у Васи силен в математике? GeoGebra в развитии. Н.Яникова Помогут ли нам автоматы учить математику? А.Шперх Плохие новости для учителей химии и математики? А.Шперх Полезный микс: STEАM-продолжение Пост Елены Годуновой с массой идей для интеграции математики и искусства Лоскутное одеяло из неравенств Богатая математика - бедная математика Идеи в духе STEAM: геометрический конструктор на основе рисунков Google Математики больше НЕ плачут Математики тоже плачут... STEAM в начальной школе: геометрия комнаты Математика и искусство — переплетение возможно! О математических иллюстрациях к художественным произведениям Приложения для изучения математики Задачи для геоборда Что кроме учебника математики? | Ресурсы на английском
Полезные ресурсы для преподавания математики
|
Комментарии
Отправить комментарий